Ângulo

 Nota: Para outros significados, veja Ângulo (desambiguação).

Ângulo é a reunião de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. Trata-se de um dos conceitos fundamentais da matemática e é objeto de estudo em Geometria.

Um ângulo agudo

Elementos conceituais, componentes e aplicações

O ramo da matemática que se relaciona com o conceito de ângulo é a trigonometria. Além das funções da trigonometria, as principais funções (ou operações) com ângulos são a soma, a subtração , a multiplicação e divisão por um número.

Semirretas são os lados do ângulo. Origem ou vértice é o ponto onde as duas semirretas se encontram. Bissetriz é a semirreta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.

Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos comuns.

Também é muito notória a conceituação dos números pi e e, ambas usadas nas operações e funções com ângulos.

Já na matemática aplicada é muito comum o uso de ângulos. Exemplos de ramos do conhecimento em que isto ocorre são a cartografia, a geografia, a engenharia, a física, a química, a biologia, vários ramos da medicina, como a ortopedia, a odontologia, a astronomia, a aviação.

Embora o senso comum preveja apenas ângulos positivos, a matemática admite a existência de ângulos negativos, ou seja, ângulos têm sinal. Tal questão é importante mormente no tratamento de vetores na forma polar, em alternativa à forma cartesiana.

Do mesmo modo, é definida na convenção matemática a noção de ângulos entre curvas, como sendo o ângulo entre as retas tangentes no ponto de interseção .

Unidades de medidas

A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.

A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.

O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular na qual o arco é dividido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usada mais em triangulação.

O ponto é usado em navegação, e é definido como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.

O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.

O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.

Medição

O ângulo θ é o quociente de s por r.

Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma variável k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, ${\displaystyle k\approx 57,29577951^{\circ }.}$

$${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}(k).}$$

Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.

Classificações

Quanto à medida

Ângulo agudo.

Ângulo reto.

Ângulo raso.

Ângulo giro ou ângulo completo.

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como:

• Nulo: um ângulo nulo mede 0°;
• agudo: ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°;
• reto: um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares;
• obtuso: é um ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180°;
• raso: ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas opostas;
• côncavo ou reentrante: ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°;
• giro ou completo: ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta).

O ângulo reto (90°) é um dos ângulos mais notórios e utilizados, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como, aproximadamente, no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc.

Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. A volta completa coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°). Tal identificação se assemelha à do ângulo negativo com o ângulo positivo que tem como medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.

Ângulos Consecutivos: dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo; ângulos adjacentes: Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum; ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Quanto a complementações

Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).

Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.

Para facilitar a memorização dos termos correlatos desta parte da geometria euclidiana, utilizamos a seguinte frase: Com o Senhor Estou a Rezar (C = complemento, S = suplemento, E = explemento e R = replemento).

• Ângulos complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
• Ângulos suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
• Ângulos replementares: dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.
• Ângulos explementares: Dois ângulos são explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.

Dois ângulos complementares

Na geometria euclidiana, dois ângulos complementares são ângulos cujas medidas somadas resultam em 90 graus ou π/2 radianos. Por exemplo, o ângulo ${\displaystyle \alpha }$ e o ângulo ${\displaystyle 90-\alpha }$ são complementares. Propriedades dos ângulos complementares:

• Em geometria euclidiana, os dois ângulos agudos em um triângulo retângulo são complementares. Isto acontece porque, sendo a soma dos ângulos internos de um triângulo 180 graus e um ângulo é de 90 graus, sobra para os outros ângulos 90 graus.
• Quando se tem dois ângulos adjacentes complementares, esses dois ângulos juntos formam um ângulo reto. Exemplo: a+b=90º graus

Dois ângulos suplementares

Em geometria, dois ângulos suplementares são ângulos que somados, dão 180 graus ou ${\displaystyle \pi }$ radianos.Por exemplo, o ângulo ${\displaystyle \alpha }$ e o ângulo ${\displaystyle 180-\alpha }$(b) são suplementares. A aplicação do conceito de ângulos suplementares é fundamental em diversos momentos, principalmente na geometria euclidiana e na geometria esférica. Por exemplo, pode-se vê-lo presente no seguinte teorema:

• Teorema: Os ângulos internos de um paralelogramo são dois a dois suplementares.
• Prova: Sejam ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \ {\mbox{e}}\ \delta }$ os ângulos do paralelogramo. Então, temos que ${\displaystyle (\alpha ,\beta ),(\beta ,\gamma ),(\gamma ,\delta )\ {\mbox{e}}\ (\delta ,\alpha )}$ são pares de ângulos colaterais internos. Por propriedade, suas somas valem 180° (ou seja, ${\displaystyle \alpha +\beta =\beta +\gamma =\gamma +\delta =\delta +\alpha =180}$°). logo, eles são suplementares. ${\displaystyle \square }$

O ângulo replementar de qualquer ângulo é o ângulo que, somado com o primeiro, dá 360 graus, ${\displaystyle {2\pi }}$ radianos.

Ângulos explementares são ângulos cujas medidas subtraídas resultam em 180 graus ou π radianos. Por exemplo, 10º e 190º são explementares.

Histórico

Euclides definiu um ângulo plano como a inclinação entre duas linhas que se encontram em um mesmo plano. De acordo com Proclo, um ângulo deve ser uma quantidade, qualidade ou relação. O primeiro conceito (quantidade) foi usado por Eudemus, que via o ângulo como desvio de uma linha reta. O segundo conceito (qualidade) foi usado por Carpus de Antioch, que o via como intervalo ou espaço entre linhas intersecantes. Euclides adotou o terceiro conceito, no entanto, sua definição de ângulo reto, agudo e obtuso era claramente quantitativa.

Um dos conhecidos três problemas clássicos da matemática grega foi o da trissecção do ângulo.

O Principia mathematica, um compêndio que tentou demonstrar do início os fundamentos da matemática, tinha um quarto volume previsto, especialmente para a geometria, mas que nunca foi realizado.

Significações derivadas

Existem vários significados para a palavra ângulo, todos eles derivadas da sua significação matemática, como ponto de vista, imagem que se vê através de uma lente e esquina. Ângulo também pode significar o local no gol, em futebol, de onde se podem ver os noventa graus da trave, de difícil acesso ao goleiro e considerado local nobre para marcação do gol. "No ângulo" é a expressão da jogada exata.

Ver também

• Arco (matemática)
• Círculo
• Seno
• Cosseno
• Tangente
• Geometria

Referências

1. Viana, Giovana K. A. M; Toffoli, Sônia F. L.; Sodré, Ulysses (24 de março de 2005). Ensino Fundamental: Geometria: Ângulos. [S.l.]: Planeta Sercomtel. Consultado em 11 de janeiro de 2012. Arquivado do original em 12 de maio de 2013  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
2. Dolce, O. (2013). Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 9 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716863 
3. «Como representar os movimentos de inclinação no mundo?». Click Educação. 1 de janeiro de 2006. Consultado em 11 de janeiro de 2012. Arquivado do original em 23 de março de 2010 
4. «Medidas de ângulos de Arcos» (PDF). Fundamentos de Matemática Elementar, Universidade Federal da Bahia. Consultado em 11 de janeiro de 2012 
5. Heiberg, Johan Ludvig (1908). Euclid (em inglês). 1. [S.l.]: Cambridge University Press 
6. Carvalho, João Pitombeira de. «Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega» (PDF). Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. Consultado em 12 de janeiro de 2012 
7. Ferreira, Aurélio Buarque de Holanda (1986). Novo dicionário Aurélio da Língua Portuguesa 2 ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. ISBN 8520904114 

Ligações externas

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Definições no Wikcionário
	Livros e manuais no Wikilivros

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• Ângulos - Brasil Escola
• Ângulo. Medidas de um ângulo - Escola Kids
• Ângulos - Geometria Básica - Guia do Estudante
• Ângulos - Só Matemática

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