Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.
No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.
Propriedades importantes
As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.
Nos números inteiros
Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.
Se a e b são dois números inteiros positivos (com ), o quociente da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que . O resto da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que
A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.
Nos números racionais, reais e em outros corpos
Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.
Por um exemplo, para dividirmos um número racional por (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma
Em (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:
Divisão de polinômios
Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto. Veja divisão polinomial.
Em estruturas mais gerais
A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com .
Representação
Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:
- Como uma fração: (utilizando uma barra horizontal entre os dois números);
- Através de uma barra inclinada: . (É utilizado para fazer operações em computadores);
- Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles: ;
- Utilizando dois pontos entre os dois números na horizontal: ;
- Usando a notação do inverso multiplicativo: .
Divisão de números consecutivos
Seja o número impar e o seu consecutivo .
Seja a divisão . Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir :
a - O quociente é menor do que e tende para com o aumento de , então
b - Na imensa maioria das proposições o quociente apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.
Seja a divisão . Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:
a - O quociente é maior do que e tende para com o aumento de , então
b - Na imensa maioria das proposições o quociente apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.
Entretanto
Em nenhuma das proposições para ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números finitos de algarismos após a virgula decimal.
Divisão entre números consecutivos
Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos a considerar:
Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par
Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar
Caso 1
sejam dois números consecutivos com e de paridade par.
A divisão , e a outra divisão .
Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números com infinitos algarismos após o ponto decimal.
Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.
No sistema decimal a decomposição única do número é dada por , então a fração só não será uma dizima infinita quando pois é um número de paridade impar.
A fração só não será uma dizima infinita quando .
A expressão termina sempre com o número exceto para .
Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número tem que terminar com o número exceto para o primeiro caso onde , e o número , terá que ser da forma onde a expressão não será uma dizima infinita.
Como os números da forma com algarismo na na última posição são sempre terminados em jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo e com a propriedade de serem da forma .
Caso 2
Sejam dois números consecutivos com e de paridade impar.
A divisão e a outra divisão
Na imensa maioria dos casos, cada uma destas duas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.
Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.
No sistema decimal a decomposição única do número é , então a fração só não uma dizima infinita quando .
A fração só não será uma dizima infinita quando .
A expressão termina sempre no número exceto para .
Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número tem que terminar em , exceto para o primeiro caso onde , e número terá que ser da forma , onde a expressão não será uma dizima infinita.
O valor de só termina em , para e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em é da forma , impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em que sejam da forma .
Estas divisões são aplicadas nas soluções para o Último Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal a partir das equações do Terno Pitagórico obtidas por Geometria , pois qualquer raiz de um número racional com dizima infinita não terá como resposta um número inteiro.
Todas as outras fórmulas para a determinação do Terno Pitagórico inclusive as Fórmulas de Euclides não se aplicam, porque são fórmulas incompletas.
Ver também
- Critérios de divisibilidade
- Divisão por zero
- Multiplicação
- Anel (matemática)
- Corpo (matemática)
- Algoritmo de Euclides
Notas e referências
- Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), p. 39
- Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), p. 40
- Serrasqueiro (1906), p. 35-37
Referências
- Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves
- Serrasqueiro, José Adelino (1906). Tratado de Algebra Elementar 9 ed. Largo da Sé Velha: Livraria Central de J. Diogo Piresi
Ligações externas
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- Explicando o Algoritmo da Divisão
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