Energia potencial elétrica

 Nota: Não confundir com Potencial elétrico, nem com Energia elétrica.

A energia potencial elétrica, ou energia potencial eletrostática, é a energia potencial que resulta da interação conservativa de Coulomb e está associada à configuração de um conjunto particular de cargas pontuais dentro de um sistema definido. Um objeto pode ter energia potencial elétrica em virtude de dois elementos principais: sua própria carga elétrica e sua posição relativa a outros objetos eletricamente carregados.

O termo "energia potencial elétrica" ​​é usado para descrever a energia potencial em sistemas com campos elétricos variantes no tempo, enquanto o termo "energia potencial eletrostática" é usado para descrever a energia potencial em sistemas com campos elétricos invariantes no tempo.

Definição

A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais é definida como o trabalho necessário para montar esse sistema de cargas aproximando-as, como no sistema de uma distância infinita a uma distância r, finita.

A energia potencial eletrostática, U_E^, de uma carga pontual q na posição r na presença de um campo elétrico E é definida como o negativo do trabalho W feito pela força eletrostática para trazê-la da posição de referência r_ref para essa posição r.^:§25-1${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{\mathbf {r} }_{\rm {ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'} }$ Nessa expressão E é o campo eletrostático e dr é o vetor deslocamento em uma curva da posição de referência r_ref para a posição final r

A energia potencial eletrostática também pode ser definida a partir do potencial elétrico da seguinte forma:

A energia potencial eletrostática, U_E, de uma carga pontual q na posição r na presença de um potencial elétrico é definida como o produto da carga e do potencial elétrico. ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=q\Phi (\mathbf {r} )}$ Nessa expressão ${\displaystyle \scriptstyle \Phi }$ é o potencial elétrico gerado pelas cargas, que é uma função da posição r.

Unidades

A unidade do SI para a energia potencial elétrica é o joule (em homenagem ao físico inglês James Prescott Joule). No sistema CGS, o erg é a unidade de energia, sendo igual a 10⁻⁷ J. Além disso, elétron-volts podem ser usados, sendo que 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J.

Energia potencial eletrostática de uma carga pontual

Uma carga pontual q na presença de outra carga pontual Q

Uma carga pontual q no campo elétrico de outra carga Q.

A energia potencial eletrostática, U_E, de um ponto de carga q na posição r na presença da carga pontual Q, tomando uma separação infinita entre as cargas como a posição de referência, é:

${\displaystyle U_{E}(r)=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$

onde ${\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ refere-se a constante de Coulomb, r é a distância entre as cargas pontuais q e Q_i são as cargas (não os valores absolutos das cargas — ou seja, um elétron teria um valor negativo de carga quando colocado na fórmula). O seguinte esboço de prova afirma a derivação da definição de energia potencial elétrica e da Lei de Coulomb para esta fórmula.

Esboço da prova

A força eletrostática F agindo sobre uma carga q pode ser escrita em termos de campo elétrico E como ${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }$, Por definição, a variação da energia potencial eletrostática, UE, de uma carga pontual q que se moveu da posição de referência r_ref para a posição r em a presença de um campo elétrico E é o negativo do trabalho realizado pela força eletrostática para trazê-lo da posição de referência r_ref para aquela posição r. ${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$. onde:: r = posição no espaço 3D da carga q, usando as coordenadas cartesianas r = (x, y, z), tomando a posição da carga Q em r = (0,0,0), o escalar r = | r | é a norma do vetor posição, ds = diferencial ao longo de um caminho C indo de r ref para r, ${\displaystyle \scriptstyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$ é o trabalho realizado pela força eletrostática para trazer a carga da posição de referência rref para r, Geralmente, UE é zero quando rref é infinito: ${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$ so ${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$ Quando a ∇ × E é zero, a integral de linha acima não depende do caminho específico C escolhido, mas apenas em seus terminais. Isso acontece em campos elétricos invariantes no tempo. Quando falamos sobre energia potencial eletrostática, campos elétricos invariantes no tempo são sempre assumidos, então, neste caso, o campo elétrico é e a lei de Coulomb pode ser usada. Usando a lei de Coulomb, sabe-se que a força eletrostática F e o campo elétrico E criado por uma carga pontual discreta Q são radialmente dirigidos de Q. Pela definição do vetor posição r e do vetor deslocamento s, segue-se que r e s também são radialmente dirigidos de Q. Portanto, E e d s devem ser paralelos: ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s}$ Usando a lei de Coulomb, o campo elétrico é dado por ${\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$ e a integral pode ser facilmente avaliado: ${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$

Carga pontual q na presença de n cargas pontuais Qi

Energia potencial eletrostática de q devido a Q1 e Q2 sistema de carga: ${\displaystyle U_{E}=q{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)}$

A energia potencial eletrostática, U_E, de uma carga pontual q na presença de n cargas pontuais Qi , tomando uma separação infinita entre as cargas como a posição de referência, é:

${\displaystyle U_{E}(r)=k_{e}q\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}}}$

onde ${\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ é constante de Coulomb, r_i é a distância entre as cargas pontuais q e Qi são os valores sinalizados das cargas.

Energia potencial eletrostática armazenada em um sistema de cargas pontuais

A energia potencial eletrostática U_E armazenada em um sistema de N cargas q₁, q₂, ..., q_N nas posições r₁, r₂, ..., r_N respectivamente, é:

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\Phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{2}}k_{e}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\sum _{j=1}^{N(j\neq i)}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}}}$

onde, para cada i valor, Φ(r_i) é o potencial eletrostático devido a todas as cargas pontuais exceto uma em r_i, e é igual a:

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{j=1}^{N(j\neq i)}{\frac {q_{i}q_{j}}{\mathbf {r} _{ij}}}}$,

onde r_ij é a distância entre q_j e q_i.

Esboço da prova

A energia potencial eletrostática UE armazenada em um sistema de duas cargas é igual à energia potencial eletrostática de uma carga no potencial eletrostático gerado pela outra. Ou seja, se a carga q1 gerar um potencial eletrostático Φ1, que é uma função da posição r, então ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2}).}$ Fazendo o mesmo cálculo em relação à outra carga, obtemos ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1}).}$ A energia potencial eletrostática é mutuamente compartilhada por ${\displaystyle q_{1}}$ e ${\displaystyle q_{2}}$, então a energia total armazenada é ${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$ Isso pode ser generalizado para dizer que a energia potencial eletrostática UE armazenado em um sistema de N cargas q1, q2, ..., qN nas posições r1, r2, ..., rN respectivamente, é: ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\Phi (\mathbf {r} _{i})}$.

Energia armazenada em um sistema de uma carga pontual

A energia potencial eletrostática de um sistema contendo apenas uma carga pontual é zero, pois não há outras fontes de força eletrostática contra a qual um agente externo deva trabalhar para mover a carga pontual do infinito até sua localização final. Dessa forma, pode-se também dizer que a energia potencial eletrostática é zero quando uma carga está infinitamente distante da outra.

Uma questão comum surge com relação à interação de uma carga pontual com seu próprio potencial eletrostático. Uma vez que essa interação não age para mover a carga pontual em si, ela não contribui para a energia armazenada do sistema.

Energia armazenada em um sistema de duas cargas pontuais

Considere trazer uma carga pontual, q, em sua posição final perto de uma carga pontual, Q₁. O potencial eletrostático Φ(r) devido a Q₁ é

${\displaystyle \Phi (r)=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}}$

Portanto, obtemos, a energia potencial elétrica de q no potencial de Q₁ como

${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}}$

onde r₁ é a separação entre as duas cargas pontuais.

Energia armazenada em um sistema de três cargas pontuais

A energia potencial eletrostática de um sistema de três cargas não deve ser confundida com a energia potencial eletrostática de Q₁ devido às duas cargas Q₂ e Q₃, pois esta última não inclui a energia potencial eletrostática do sistema das duas cargas Q₂ e Q₃.

A energia potencial eletrostática armazenada no sistema de três cargas é:

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$

Esboço da prova

Usando a fórmula dada em (1), a energia potencial eletrostática do sistema das três cargas será então: ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}\Phi (\mathbf {r} _{1})+Q_{2}\Phi (\mathbf {r} _{2})+Q_{3}\Phi (\mathbf {r} _{3})\right]}$ Onde ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{1})}$ é o potencial elétrico em r1 criado pelas cargas Q2 e Q3, ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{2})}$ é o potencial elétrico em r2 criados pelas cargas Q1 e Q3, e ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{3})}$ é o potencial elétrico em r3 criado pelas cargas Q1 e Q2. Os potenciais são: ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{1})=\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1})+\Phi _{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{2})=\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2})+\Phi _{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{3})=\Phi _{1}(\mathbf {r} _{3})+\Phi _{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$ Onderab é a distância entre a carga Qa e Qb. Se adicionarmos tudo: ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$ Finalmente, temos que a energia potencial eletrostática armazenada no sistema de três cargas: ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$

Energia armazenada em uma distribuição de campo eletrostático

A densidade de energia, ou energia por unidade de volume, ${\displaystyle {\frac {dU}{dV}}}$, do campo eletrostático de uma distribuição de carga contínua é:

${\displaystyle u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$

Esboço da prova

Pode-se pegar a equação para a energia potencial eletrostática de uma distribuição de carga contínua e colocá-la em termos de . Desde a lei de Gauss para o campo eletrostático em estados de forma diferencial ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ ONDE ${\displaystyle \mathbf {E} \ }$ é o vetor do campo elétrico ${\displaystyle \rho \ }$ é a densidade de carga total incluindo as dipolo carrega em um material ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ é a , então, ${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$ então, agora usando a seguinte identidade de vetor de divergência ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}$ nós temos ${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$ usando o teorema da divergência e levando a área ao infinito onde ${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$ Então, a densidade de energia, ou energia por unidade de volume ${\displaystyle {\frac {dU}{dV}}}$ do campo eletrostático é: ${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$

Energia armazenada em elementos eletrônicos

A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor é U_E=½ CV²

Alguns elementos em um circuito podem converter energia de uma forma para outra. Por exemplo, um resistor converte energia elétrica em calor, o que é conhecido como efeito Joule. Um capacitor o armazena em seu campo elétrico. A energia potencial elétrica total armazenada em um capacitor é dada por

${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$

onde C é a capacitância, V é a diferença de potencial elétrico e Q a carga armazenada no capacitor.

Esboço da prova

Pode-se montar cargas em um capacitor em incrementos infinitesimais, ${\displaystyle dq\to 0}$, de modo que a quantidade de trabalho realizado para montar cada incremento em sua localização final pode ser expressa como ${\displaystyle W_{q}=Vdq={\frac {q}{C}}dq.}$ O trabalho total feito para carregar totalmente o capacitor desta forma é então ${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}Vdq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}qdq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$ onde ${\displaystyle Q}$ é a carga total no capacitor. Este trabalho é armazenado como energia potencial eletrostática, portanto, ${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$ Notavelmente, essa expressão só é válida se ${\displaystyle dq\to 0}$, o que é válido para sistemas de muitas cargas, como grandes capacitores com eletrodos metálicos. Para sistemas de poucas cargas, a natureza discreta da carga é importante. A energia total armazenada em um capacitor de poucas cargas é ${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{C}}}$ que é obtido por um método de montagem de carga utilizando o menor incremento de carga física ${\displaystyle \Delta q=e}$ where ${\displaystyle e}$ é a unidade elementar de carga e ${\displaystyle Q=Ne}$ onde ${\displaystyle N}$ é o número total de cargas no capacitor.

A energia potencial eletrostática total também pode ser expressa em termos do campo elétrico na forma

${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} dV}$

onde ${\displaystyle \mathrm {D} }$ é o campo de deslocamento elétrico dentro de um material dielétrico e a integração é sobre todo o volume do dielétrico.

A energia potencial eletrostática total armazenada dentro de um dielétrico carregado também pode ser expressa em termos de uma carga de volume contínuo, ${\displaystyle \rho }$,

${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi dV}$

onde a integração está em todo o volume do dielétrico.

Estas duas últimas expressões são válidas apenas para os casos em que o menor incremento de carga é zero (${\displaystyle dq\to 0}$) como dielétricos na presença de eletrodos metálicos ou dielétricos contendo muitas cargas.

Ver também

• Lei de Coulomb
• Campo elétrico
• Potencial elétrico

Notas

1. A referência zero é geralmente considerada como um estado no qual as cargas pontuais individuais estão muito bem separadas ("estão em separação infinita") e em repouso.
2. Alternativamente, também pode ser definido como o trabalho W feito por uma força externa para movê-lo da posição de referência r_ref para alguma posição r. No entanto, ambas as definições produzem os mesmos resultados.
3. O fator da metade é responsável pela 'contagem dupla' de pares de carga. Por exemplo, considere o caso de apenas duas cargas.

Referências

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