Em matemática, em especial álgebra linear e análise, define-se como funcional, toda função cujo domínio é um espaço vetorial e a imagem é o corpo de escalares. Intuitivamente, pode-se dizer que um funcional é uma "função de uma função".
Há autores que exigem que um funcional seja linear por definição, deixando o termo aplicação não-linear para designar tais funcionais não lineares.
A história, no entanto, consagrou o termo funcional de Minkowski para certas funções não lineares definidas em espaços vetoriais topológicos localmente convexos.
Definições formais
- Seja um espaço vetorial sobre um corpo , então é um funcional qualquer função .
Como este espaço vetorial (domínio de um funcional) geralmente é de funções, há outra definição específica para este caso:
Exemplo
Considere sobre o corpo dos números reais, onde cada vetor pode ser denotado por . Eis alguns exemplos de funcionais:
- é um vetor dado.
Classificação
- Um funcional é dito funcional linear se for linear, ou seja, se e são escalares:
- Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional contínuo se for contínuo.
- Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional limitado se sua imagem leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.
- um funcional linear em um espaço vetorial topológico é contínuo se e somente se for limitado.
Ver também
- Espaço dual
- Teorema da representação de Riesz
Referências
- FLORES, Ana Paula Ximenes. Cálculo Variacional: aspectos teóricos e aplicações. Disponível em; <http://www.rc.unesp.br/igce/pos/mestrado_profissional/Arquivos/Dissertacoes/Ana%20Paula%20Ximenes%20Flores.pdf>. Acesso em 9 de julho de 2011. Capítulo 2.
- WOLFRAM ALPHA. Functional.Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/Functional.html>. Acesso em: 9 de julho de 2011.
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