Velocidade vetorial é a velocidade escalar em combinação com a direção do movimento de um objeto. A velocidade vetorial é um conceito fundamental na cinemática, o ramo da mecânica clássica que descreve o movimento dos corpos.
A velocidade vetorial é uma grandeza vetorial física: tanto a magnitude quanto a direção são necessárias para defini-la. O valor absoluto escalar (magnitude) da velocidade vetorial é chamado de velocidade escalar, sendo uma unidade derivada coerente cuja quantidade é medida no SI (sistema métrico) como metros por segundo (m/s ou m⋅s−1). Por exemplo, “5 metros por segundo” é um escalar, enquanto “5 metros por segundo leste” é um vetor. Se houver uma mudança na velocidade escalar, direção ou ambas, diz-se que o objeto está sofrendo uma aceleração.
Definição
Velocidade média
A velocidade média de um objeto durante um período de tempo é sua mudança de posição, , dividida pela duração do período, , dada matematicamente como
Velocidade instantânea
A velocidade instantânea de um objeto é a velocidade média limite conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero. Em qualquer momento t específico, pode ser calculada como a derivada da posição em relação ao tempo:
A partir desta equação derivada, no caso unidimensional pode-se ver que a área sob uma velocidade versus tempo (gráfico de v versus t) é o deslocamento, s. Em termos de cálculo, a integral da função de velocidade v(t) é a função de deslocamento s(t). Na figura, isto corresponde à área amarela sob a curva.
Embora o conceito de velocidade instantânea possa à primeira vista parecer contra-intuitivo, pode ser pensado como a velocidade com que o objeto continuaria a viajar se parasse de acelerar naquele momento.
Diferença entre as velocidades escalar e vetorial
Embora os termos velocidade escalar e velocidade vetorial sejam frequentemente usados coloquialmente de forma intercambiável para denotar a rapidez com que um objeto está se movendo, em termos científicos eles são diferentes. A velocidade escalar, a magnitude escalar de um vetor de velocidade, denota apenas a rapidez com que um objeto está se movendo, enquanto a velocidade vetorial indica a velocidade escalar e a direção de um objeto.
Para ter uma velocidade vetorial constante, um objeto deve ter uma velocidade escalar constante em uma direção constante. A direção constante restringe o objeto ao movimento em uma trajetória reta, portanto, uma velocidade vetorial constante significa movimento em linha reta a uma velocidade escalar constante.
Por exemplo, um carro que se move a uma velocidade constante de 20 quilômetros por hora em uma trajetória circular tem uma velocidade escalar constante, mas não tem velocidade vetorial constante porque sua direção muda. Portanto, considera-se que o carro está passando por uma aceleração.
Unidades
Como a derivada da posição em relação ao tempo dá a mudança na posição (em metros) dividida pela mudança no tempo (em segundos), a velocidade é medida em metros por segundo (m/s).
Equação de movimento
Velocidade média
A velocidade é definida como a taxa de mudança de posição em relação ao tempo, que também pode ser referida como velocidade instantânea para enfatizar a distinção da velocidade média. Em algumas aplicações, a velocidade média de um objeto pode ser necessária, ou seja, a velocidade constante que forneceria o mesmo deslocamento resultante que uma velocidade variável no mesmo intervalo de tempo, v(t), ao longo de algum período de tempo Δt. A velocidade média pode ser calculada como:
A velocidade média é sempre menor ou igual à velocidade escalar média de um objeto. Isso pode ser visto ao perceber que, enquanto a distância está sempre aumentando estritamente, o deslocamento pode aumentar ou diminuir em magnitude, bem como mudar de direção.
Em termos de um gráfico de deslocamento-tempo (x versus. t), a velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade) pode ser considerada como a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto, e a velocidade média como a inclinação da reta secante entre dois pontos com coordenadas t iguais aos limites do período de tempo para a velocidade média.
Casos especiais
- Quando uma partícula se move com diferentes velocidades escalares uniformes v1, v2, v3, ..., vn em diferentes intervalos de tempo t1, t2, t3, ..., tn respectivamente, então a velocidade escalar média sobre o tempo total da jornada é dada como
Se t1 = t2 = t3 = ... = t, então a velocidade escalar média é dada pela média aritmética das velocidades escalares
- Quando uma partícula se move em diferentes distâncias s1, s2, s3,..., sn com velocidades escalares v1, v2, v3,..., vn respectivamente, então a velocidade escalar média da partícula ao longo da distância total é dada como
Se s1 = s2 = s3 = ... = s, então a velocidade escalar média é dada pela média harmônica das velocidades escalares
Relação com a aceleração
Embora a velocidade seja definida como a taxa de mudança de posição, é comum começar com uma expressão para a aceleração de um objeto. Como visto pelas três linhas tangentes verdes na figura, a aceleração instantânea de um objeto em um ponto no tempo é a inclinação da linha tangente à curva de um gráfico v(t) naquele ponto. Em outras palavras, a aceleração instantânea é definida como a derivada da velocidade em relação ao tempo:
A partir daí, a velocidade é expressa como a área sob um gráfico de aceleração versus tempo a(t). Como acima, isso é feito usando o conceito da integral:
Aceleração constante
No caso especial de aceleração constante, a velocidade pode ser estudada usando as equações de suvat. Ao considerar a como sendo igual a algum vetor constante arbitrário, isso mostra com v como a velocidade no tempo t e u como a velocidade no tempo t = 0. Ao combinar esta equação com a equação de suvat x = ut + at2/2, é possível relacionar o deslocamento e a velocidade média por Também é possível derivar uma expressão para a velocidade independente do tempo, conhecida como equação de Torricelli, da seguinte forma: onde v = |v| etc.
As equações acima são válidas tanto para a mecânica newtoniana quanto para a relatividade especial. Onde a mecânica newtoniana e a relatividade especial diferem é em como diferentes observadores descreveriam a mesma situação. Em particular, na mecânica newtoniana, todos os observadores concordam com o valor de t e as regras de transformação para posição criam uma situação na qual todos os observadores não aceleradores descreveriam a aceleração de um objeto com os mesmos valores. Nenhuma das duas é verdadeira para a relatividade especial. Em outras palavras, apenas a velocidade relativa pode ser calculada.
Quantidades que dependem da velocidade
Momento
Na mecânica clássica, a segunda lei de Newton define momento (momentum), p, como um vetor que é o produto da massa e velocidade de um objeto, dado matematicamente como onde m é a massa do objeto.
Energia cinética
A energia cinética de um objeto em movimento depende de sua velocidade e é dada pela equação onde Ek é a energia cinética. A energia cinética é uma quantidade escalar, pois depende do quadrado da velocidade.
Arrasto (resistência de fluido)
Na dinâmica de fluidos, o arrasto é uma força que atua em oposição ao movimento relativo de qualquer objeto que se move em relação a um fluido circundante. A força de arrasto, , depende do quadrado da velocidade e é dada como onde
- é a densidade do fluido;
- é a velocidade do objeto em relação ao fluido;
- é a área da seção transversal;
- é o coeficiente de arrasto – um número adimensional.
Velocidade de escape
A velocidade de escape é a velocidade escalar mínima que um objeto balístico precisa para escapar de um corpo massivo como a Terra. Ela representa a energia cinética que, quando adicionada à energia potencial gravitacional do objeto (que é sempre negativa), é igual a zero. A fórmula geral para a velocidade de escape de um objeto a uma distância r do centro de um planeta com massa M éonde G é a constante gravitacional e g é a aceleração gravitacional. A velocidade de escape da superfície da Terra é de cerca de 11.200 m/s, e é independente da direção do objeto. Isso torna "velocidade de escape" um tanto impróprio, pois o termo mais correto seria "velocidade escalar de escape": qualquer objeto que atinja uma velocidade dessa magnitude, independentemente da atmosfera, deixará a vizinhança do corpo base, desde que não intersecte com algo em seu caminho.
O fator de Lorentz da relatividade especial
Na relatividade especial, o fator de Lorentz adimensional aparece frequentemente e é dado por onde γ é o fator de Lorentz e c é a velocidade escalar da luz.
Velocidade relativa
A velocidade relativa é uma medida da velocidade entre dois objetos determinada em um único sistema de coordenadas. A velocidade relativa é fundamental tanto na física clássica quanto na moderna, uma vez que muitos sistemas da física lidam com o movimento relativo de duas ou mais partículas.
Considere um objeto A movendo-se com vetor de velocidade v e um objeto B com vetor de velocidade w; essas velocidades absolutas são normalmente expressas no mesmo referencial inercial. Então, a velocidade do objeto A em relação ao objeto B é definida como a diferença dos dois vetores de velocidade: Da mesma forma, a velocidade relativa do objeto B movendo-se com velocidade w, em relação ao objeto A movendo-se com velocidade v é: Normalmente, o referencial inercial escolhido é aquele em que o último dos dois objetos mencionados está em repouso.
Na mecânica newtoniana, a velocidade relativa é independente do referencial inercial escolhido. Este não é mais o caso da relatividade especial, na qual as velocidades dependem da escolha do referencial.
Velocidades escalares
No caso unidimensional, as velocidades são escalares e a equação é: se os dois objetos estiverem se movendo em direções opostas, ou: se os dois objetos estiverem se movendo na mesma direção.
Sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas
Em sistemas de coordenadas cartesianas multidimensionais, a velocidade é dividida em componentes que correspondem a cada eixo dimensional do sistema de coordenadas. Em um sistema bidimensional, onde há um eixo x e um eixo y, os componentes de velocidade correspondentes são definidos como: O vetor de velocidade bidimensional é então definido como . A magnitude deste vetor representa a velocidade escalar e é encontrada pela fórmula de distância como: Em sistemas tridimensionais onde há um eixo z adicional, o componente de velocidade correspondente é definido como: O vetor de velocidade tridimensional é definido como com sua magnitude também representando a velocidade escalar e sendo determinada por: Enquanto alguns livros didáticos usam a notação subscrita para definir componentes cartesianos de velocidade, outros usam , , e para os eixos , , e , respectivamente.
Coordenadas polares
Em coordenadas polares, uma velocidade bidimensional é descrita por uma velocidade radial, definida como o componente da velocidade para longe ou em direção à origem, e uma velocidade transversal, perpendicular à radial. Ambas surgem da velocidade angular, que é a taxa de rotação em torno da origem (com quantidades positivas representando a rotação no sentido anti-horário e quantidades negativas representando a rotação no sentido horário, em um sistema de coordenadas destro).
As velocidades radial e transversal podem ser derivadas dos vetores de velocidade e deslocamento cartesianos decompondo o vetor de velocidade em componentes radial e transversal. A velocidade transversal é o componente da velocidade ao longo de um círculo centrado na origem. onde:
- é a velocidade transversal;
- é a velocidade radial.
A velocidade escalar radial (ou magnitude da velocidade radial) é o produto escalar do vetor de velocidade e o vetor unitário na direção radial. onde é a posição e é a direção radial.
A velocidade escalar transversal (ou magnitude da velocidade transversal) é a magnitude do produto cruzado do vetor unitário na direção radial e o vetor de velocidade. É também o produto escalar da velocidade e a direção transversal, ou o produto da velocidade escalar angular e o raio (a magnitude da posição). tal que: Momento angular na forma escalar é a massa vezes a distância até a origem vezes a velocidade transversal, ou equivalentemente, a massa vezes a distância ao quadrado vezes a velocidade escalar angular. A convenção de sinais para momento angular é a mesma que para velocidade angular. onde:
- é a massa;
A expressão é conhecida como momento de inércia. Se as forças estão na direção radial apenas com uma dependência inversa do quadrado, como no caso de uma órbita gravitacional, o momento angular é constante, e a velocidade escalar transversal é inversamente proporcional à distância, a velocidade escalar angular é inversamente proporcional à distância ao quadrado, e a taxa na qual a área é varrida é constante. Essas relações são conhecidas como leis de Kepler do movimento planetário.
Ver também
- Hipervelocidade
- Gráfico de velocidade versus tempo [en]
- Quadrivelocidade (versão relativística da velocidade para o espaço-tempo de Minkowski)
- Rapidez (uma versão de velocidade aditiva em velocidades escalares relativísticas)
- Velocidade de fase
- Velocidade de fluxo
- Velocidade de grupo [en]
- Velocidade própria (na relatividade, usando o tempo do viajante em vez do tempo do observador)
- Velocidade terminal
Notas
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Referências
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Ligações externas
- Introdução aos mecanismos (Carnegie Mellon University (em inglês)
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