Um cubo ou hexaedro regular é um poliedro com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois:
- cada face tem 4 arestas;
- de cada vértice partem 3 arestas;
- vale a relação de Euler: , onde representa o número de vértices, o número de arestas e o número de faces.
Cubo | |
---|---|
Tipo | Sólido platônico |
Faces | 6 |
Arestas | 12 |
Vértices | 8 |
Símbolo de Schläfli | {4,3} t{2,4} or {4}×{} tr{2,2} or {}×{}×{} |
Símbolo de Wythoff | 3 |
Símbolo de Coxeter-Dynkin | |
Grupo de simetria | Oh, B3, [4,3], (*432) |
Área de superfície | |
Volume | |
Ângulo diédrico | 90° |
Poliedro dual | Octaedro |
Propriedades | |
Regular, Convexo | |
Planificação | |
O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:
- faces poligonais regulares e congruentes;
- ângulos poliédricos congruentes.
Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos () com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.
O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.
Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de Euler
Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:
Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:
Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.
Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:
- sendo e , tem-se:
Logo, 8 é o número de vértices do cubo.
Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma
Sendo o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:
- bases congruentes;
- faces laterais e faces no total - as faces laterais e as bases (as faces laterais são paralelogramos e dependem do número de lados do polígono da base);
- arestas laterais e arestas no total;
- vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.
Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:
Logo, substituindo por , nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:
- .
Planificação do cubo
O cubo possui, no total, 11 planificações distintas. E são elas:
Área total da superfície do cubo
Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6.
Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo é dada por e supondo que cada aresta do cubo tenha medida , concluí-se que a área de cada face (quadrado) será .
Logo a área total da superfície do cubo será .
Diagonal do cubo
É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.
Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:
onde representa a medida da aresta do cubo e representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:
Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:
em que representa a diagonal do cubo, representa a aresta do cubo e a diagonal de uma das faces. Substituindo por :
Ou seja, a diagonal do cubo é dada por .
Volume do cubo
Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura. Assim,
onde representa o volume, a área da base e a altura.
Como a base é um quadrado de lado e a altura também vale (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:
Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta , o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:
Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esfera
Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera.
Utilizando para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:
Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esfera
Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.
Se representa o raio da esfera circunscrita ao cubo, representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:
Poliedro dual do cubo
O poliedro dual do cubo é o octaedro regular.
Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.
Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta
Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta do cubo. Fixando para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se:
Portanto, a medida da aresta do octaedro é .
Exemplos
-
Um cubo em rotação -
Dados de 6 faces -
Cubo
(Matemateca_IME-USP) -
Revolução de um cubo
(Matemateca_IME-USP)
Ver também
- Tesserato
- Cubo truncado
- Cubo snub
- Cuboctaedro
- Cuboctaedro truncado
- Hexaedro tetrakis
Referências
- Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos de Matemática Elementar 6 ed. São Paulo: Atual
- Rodrigues Justino, Ana Paula (2011). «Poliedros de Platão» (PDF). Universidade Federal da Paraíba
- http://www.ijvr.org/issues/issue3-2010/paper2.pdf
- http://www.numeracycd.com/contents/main/nets/netsofacube.pdf
- Marcos Noé Pedro da Silva. «Volume do Cubo». Mundo Educação. Consultado em 11 de junho de 2018
- Batista, Silvia; Barcelos, GIlmara. «Poliedros Duais». Consultado em 11 de junho de 2018
Ligações externas
- Modelo 3D Interativo do Cubo
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