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Toro ou toróide é um espaço topológico homeomorfo ao (produto) de dois círculos. Apresenta o formato aproximado de uma câmara de pneu. Em geometria, pode ser definido como o lugar geométrico tridimensional formado pela rotação de uma superfície circular plana de raio r, em torno de uma circunferência de raio R.
Toro | |
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Notação | |
Característica de Euler | 0 |
Grupo fundamental | |
Homologia |
Formas de construir um toro
- Identificando os lados opostos de um quadrado sem os torcer.
- Identificando os lados opostos de um hexágono sem os torcer.
Geometria
Um toro pode ser imerso no como uma superfície algébrica do quarto grau.
Em coordenadas paramétricas, o toro é gerado por:
em que
- u, v estão no intervalo [0, 2π],
- R é a distância do centro do tubo ao centro do toro,
- r é o raio do tubo.
Em coordenadas cartesianas, o toro com simetria de rotação no eixo z tem equação:
eliminando a raiz quadrada, chega-se a:
A área da superfície e o volume do interior são dados por:
As fórmulas da área e do volume são as mesmas de um cilindro, em que sua altura é o equivalente à circunferência média do toro e o raio da base equivalente ao raio da seção transversal do toro . Este cilindro é criado "cortando-se" o toro e estendendo-o pelo centro do tubo. As perdas em área e volume na parte interna são compensadas por ganhos na parte externa.
Propriedades topológicas
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O toro é uma superfície topológica compacta, conexa e orientável, que pode ser representada por um polígono (no caso, quadrado) com uma orientação nas arestas. Esta orientação representa a identificação das arestas. Uma possível triangulação do toro é dada pela figura abaixo, na qual o toro é representado pelo quadrado com os lados identificados .
Podemos também triangularizar o bitoro, que é uma soma conexa de dois toros, triangularizando a região poligonal que o representa, que é um polígono com uma orientação nas arestas. Esta orientação determina como as arestas devem ser coladas para formar a figura topológica. Uma possível triangulação do bitoro é dada pela figura abaixo:
Ver também
- Esfera
- Superfície
Referências
- Hatcher, 2002
Bibliografia
- Kozak, Ana Maria; Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio (2007). Nociones de Geometria Analitica y Algebra Lineal (em espanhol). [S.l.]: Mcgraw-Hill. 744 páginas. ISBN 9789701065969
- Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN ISBN 0-521-79540-0 Verifique
|isbn=
(ajuda) - Nikulin, V.V; I.R.Shafarevich (1987). Geometries and Groups (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 9783540152811
- (1966). Elementary Differential Topology, edição revisada. Col: Annals of Mathematics Studies 54. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 0-691-09093-9
- "Tore (notion géométrique)" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
Ligações externas
- Creation of a torusem Cut-the-Knot
- "4D torus"Fly-through cross-sections of a four dimensional torus.
- "Relational Perspective Map"Visualizing high dimensional data with flat torus.
- "Torus Games"Free downloadable games for Windows and Mac OS X that highlight the topology of a torus.
- Polydos Arquivado em 10 de março de 2012, no Wayback Machine.
- Hatcher, 2002
Galeria
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- Superfície tórica
- Caixa d'água toroidal na Polônia
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